网格模块 (vde::mesh)

半边网格、Delaunay 2D/3D、简化、平滑、修复、参数化、Marching Cubes 更多...

类
struct	vde::mesh::DelaunayResult
	2D Delaunay 三角化结果 更多...
struct	vde::mesh::TetrahedronMesh
	四面体网格结构 更多...
struct	vde::mesh::Halfedge
	半边数据结构元素 更多...
struct	vde::mesh::Face
	面元素 更多...
class	vde::mesh::HalfedgeMesh
	半边数据结构三角网格 更多...
struct	vde::mesh::MCMesh
	Marching Cubes 输出网格 更多...
struct	vde::mesh::CurvatureResult
	离散曲率计算结果 更多...
struct	vde::mesh::MeshQuality
	三角网格质量指标 更多...
struct	vde::mesh::TetQuality
	四面体网格质量指标 更多...
struct	vde::mesh::ElemQuality
	通用单元质量指标 更多...
struct	vde::mesh::QualityReport
	详细质量报告 更多...
struct	vde::mesh::RepairOptions
	网格修复选项 更多...
struct	vde::mesh::SimplifyOptions
	网格简化选项 更多...
struct	vde::mesh::SmoothOptions
	网格光顺参数 更多...

枚举
enum class	vde::mesh::BooleanOp { vde::mesh::Union , vde::mesh::Intersection , vde::mesh::Difference , vde::mesh::SymDiff }
	布尔运算类型（CSG 组合） 更多...
enum class	vde::mesh::ElementType { vde::mesh::Tri , vde::mesh::Quad , vde::mesh::Tet , vde::mesh::Hex }
	单元类型枚举 更多...
enum class	vde::mesh::SmoothMethod { vde::mesh::Laplacian , vde::mesh::Taubin , vde::mesh::HCLaplacian , vde::mesh::Bilateral }
	网格光顺方法 更多...

函数
TetrahedronMesh	vde::mesh::alpha_shapes (const std::vector< Point3D > &points, double alpha)
	Alpha Shapes 点云表面重建 更多...
std::pair< std::vector< Point3D >, std::vector< std::array< int, 3 > > >	vde::mesh::alpha_shapes_surface (const TetrahedronMesh &tet_mesh)
	将 Alpha Shapes 四面体网格的表面提取为三角形网格 更多...
DelaunayResult	vde::mesh::constrained_delaunay_2d (const std::vector< Point2D > &points, const std::vector< std::pair< int, int >> &constraints)
	约束 Delaunay 三角化（CDT） 更多...
DelaunayResult	vde::mesh::delaunay_2d (const std::vector< Point2D > &points)
	2D Delaunay 三角化（Bowyer-Watson 增量算法） 更多...
TetrahedronMesh	vde::mesh::delaunay_3d (const std::vector< Point3D > &points)
	3D Delaunay 四面体化（Bowyer-Watson 增量算法） 更多...
std::vector< double >	vde::mesh::geodesic_distance (const HalfedgeMesh &mesh, const std::vector< int > &sources, double t=-1.0)
	热方法（Heat Method）计算测地距离 更多...
MCMesh	vde::mesh::marching_cubes (const std::function< double(double, double, double)> &f, double iso_level, const Point3D &bmin, const Point3D &bmax, int resolution)
	Marching Cubes 等值面提取 更多...
double	vde::mesh::sdf_sphere (double x, double y, double z, double cx, double cy, double cz, double r)
	SDF 球体函数 更多...
double	vde::mesh::sdf_box (double x, double y, double z, double hx, double hy, double hz)
	SDF 立方体函数（轴对齐，中心在原点） 更多...
double	vde::mesh::sdf_smooth_subtraction (double d1, double d2, double k)
	SDF 平滑差集（Smooth Subtraction） 更多...
HalfedgeMesh	vde::mesh::mesh_boolean (const HalfedgeMesh &a, const HalfedgeMesh &b, BooleanOp op)
	三角网格布尔运算 更多...
CurvatureResult	vde::mesh::compute_curvature (const HalfedgeMesh &mesh)
	离散曲率计算（Cotan 公式，Meyer et al. 2003） 更多...
std::vector< Point2D >	vde::mesh::tutte_parameterization (const HalfedgeMesh &mesh)
	Tutte 参数化（调和参数化） 更多...
std::vector< Point2D >	vde::mesh::lscm_parameterization (const HalfedgeMesh &mesh)
	LSCM（Least Squares Conformal Maps）参数化 更多...
MeshQuality	vde::mesh::evaluate_mesh_quality (const HalfedgeMesh &mesh)
	评估三角网格质量 更多...
TetQuality	vde::mesh::evaluate_tet_quality (const HalfedgeMesh &mesh)
	评估三角网格作为四面体边界的质量 更多...
ElemQuality	vde::mesh::evaluate_element_quality (const HalfedgeMesh &mesh, ElementType type)
	按单元类型分派的网格质量评估 更多...
QualityReport	vde::mesh::mesh_quality_report (const HalfedgeMesh &mesh)
	生成三角网格的完整质量报告 更多...
QualityReport	vde::mesh::mesh_quality_report_tet (const HalfedgeMesh &mesh)
	生成四面体网格的完整质量报告 更多...
double	vde::mesh::tri_scaled_jacobian (const Point3D &a, const Point3D &b, const Point3D &c)
	三角形归一化 Jacobian 更多...
double	vde::mesh::tet_scaled_jacobian (const Point3D &a, const Point3D &b, const Point3D &c, const Point3D &d)
	四面体归一化 Jacobian 更多...
HalfedgeMesh	vde::mesh::repair_mesh (const HalfedgeMesh &mesh, const RepairOptions &opts={})
	自动网格修复 更多...
HalfedgeMesh	vde::mesh::simplify_mesh (const HalfedgeMesh &mesh, const SimplifyOptions &opts={})
	QEM（Quadric Error Metrics）网格简化 更多...
HalfedgeMesh	vde::mesh::smooth_mesh (const HalfedgeMesh &mesh, const SmoothOptions &opts={})
	网格光顺（通用分发器） 更多...
HalfedgeMesh	vde::mesh::smooth_laplacian (const HalfedgeMesh &mesh, int iterations, double lambda)
	标准拉普拉斯光顺 更多...
HalfedgeMesh	vde::mesh::smooth_taubin (const HalfedgeMesh &mesh, int iterations, double lambda, double mu)
	Taubin λ|μ 光顺（体积保持） 更多...
HalfedgeMesh	vde::mesh::smooth_hc_laplacian (const HalfedgeMesh &mesh, const SmoothOptions &opts={})
	HC 拉普拉斯光顺（Humphrey's Classes） 更多...
HalfedgeMesh	vde::mesh::smooth_bilateral (const HalfedgeMesh &mesh, const SmoothOptions &opts={})
	双边网格滤波 更多...

详细描述

半边网格、Delaunay 2D/3D、简化、平滑、修复、参数化、Marching Cubes

枚举类型说明

BooleanOp

enum vde::mesh::BooleanOp

strong

布尔运算类型（CSG 组合）

枚举值
Union	A ∪ B 并集
Intersection	A ∩ B 交集
Difference	A \ B 差集
SymDiff	A Δ B 对称差集

在文件 mesh_boolean.h 第 13 行定义.

ElementType

enum vde::mesh::ElementType

strong

单元类型枚举

枚举值
Tri	三角形
Quad	四边形（Stub）
Tet	四面体
Hex	六面体（Stub）

在文件 mesh_quality.h 第 92 行定义.

SmoothMethod

enum vde::mesh::SmoothMethod

strong

网格光顺方法

枚举值
Laplacian	标准拉普拉斯光顺：v ← v + λ·L(v)，快速但会收缩
Taubin	Taubin λ|μ 光顺：先正后负步交替，体积保持
HCLaplacian	HC 拉普拉斯（Humphrey's Classes）：推拉两步保持形状/体积
Bilateral	双边滤波：法向加权去噪，保持尖锐特征

在文件 mesh_smooth.h 第 13 行定义.

函数说明

alpha_shapes()

TetrahedronMesh vde::mesh::alpha_shapes	(	const std::vector< Point3D > &	points,
		double	alpha
	)

Alpha Shapes 点云表面重建

从 3D 点云的 Delaunay 四面体化中提取表面，通过参数 α 控制细节级别：

• α → ∞：返回凸包（所有边界四面体面都保留）
• α → 0：返回所有 Delaunay 面（非常详细，含内部结构）
• 中间值：剔除外接球半径 > α 的四面体，保留细节适中的表面

算法：对每个 Delaunay 四面体，检查其外接球半径。 若半径 ≤ α，四面体保留；否则剔除。最终表面 = 保留四面体与 被剔除四面体（或外部）之间的边界三角形面。

参数

points	输入 3D 点云
alpha	α 半径阈值，通常取平均点间距的 1~3 倍

返回

TetrahedronMesh 保留的四面体网格

// 从点云重建表面
auto tets = alpha_shapes(point_cloud, 0.5);
auto [verts, tris] = alpha_shapes_surface(tets);

参见

alpha_shapes_surface delaunay_3d

alpha_shapes_surface()

std::pair<std::vector<Point3D>, std::vector<std::array<int,3> > > vde::mesh::alpha_shapes_surface

(

const TetrahedronMesh &

tet_mesh

)

将 Alpha Shapes 四面体网格的表面提取为三角形网格

遍历四面体网格，提取所有仅出现在一个四面体上的面（边界面）， 即为重建的表面三角形。

参数

tet_mesh

Alpha Shapes 输出的四面体网格

返回

{顶点数组, 三角形索引数组}

注解

表面三角形法向指向四面体外部（右手定则）

参见

alpha_shapes

compute_curvature()

CurvatureResult vde::mesh::compute_curvature

(

const HalfedgeMesh &

mesh

)

离散曲率计算（Cotan 公式，Meyer et al. 2003）

对三角网格每个顶点计算离散高斯曲率和平均曲率。

高斯曲率（内点）： K(v) = (2π - Σ_j θ_j) / A_v 其中 θ_j 是顶点 v 处面角的总和，A_v 是 Voronoi 面积

平均曲率： H(v) = || Σ_j (cot α_j + cot β_j) · e_j || / (2 · A_v) 其中 α_j,β_j 是与边 e_j 相对的两个角

边界顶点使用角度缺损公式修正。

参数

mesh

输入三角网格

返回

CurvatureResult 每顶点曲率

注解

要求网格为流形；边界顶点曲率使用近似公式

auto crv = compute_curvature(mesh);
double max_curvature = *std::max_element(crv.gaussian.begin(), crv.gaussian.end());
// 可用于特征检测、网格分割等

constrained_delaunay_2d()

DelaunayResult vde::mesh::constrained_delaunay_2d	(	const std::vector< Point2D > &	points,
		const std::vector< std::pair< int, int >> &	constraints
	)

约束 Delaunay 三角化（CDT）

在标准 Delaunay 三角化基础上强制指定的约束边必须出现在三角化中。 通过边翻转（edge flip）反复消除与约束边相交的三角形边，直到所有 约束边都成为三角形边。

约束边在输出三角化中一定存在（作为三角形边），但不保证满足 空圆性质——靠近约束边的三角形可能违反 Delaunay 条件。

参数

points	输入 2D 点集
constraints	约束边列表，每项为 {起点索引, 终点索引}

返回

DelaunayResult 含约束边的三角化结果

注解

约束边不能相交（否则行为未定义）；自相交约束需先分割交点

// 带孔洞的三角化：约束边标记孔洞边界
auto result = constrained_delaunay_2d(points,
    {{0,1}, {1,2}, {2,1}, {3,0}});

参见

delaunay_2d

delaunay_2d()

DelaunayResult vde::mesh::delaunay_2d

(

const std::vector< Point2D > &

points

)

2D Delaunay 三角化（Bowyer-Watson 增量算法）

构建点集的 Delaunay 三角化：任意三角形的外接圆内不含其他点。 该性质使三角化的最小角最大化，避免狭长三角形。

算法流程：

1. 创建包围所有输入点的超级三角形
2. 逐点插入： a. 找出外接圆包含新点的所有三角形（"坏三角形"） b. 删除坏三角形，形成多边形空洞 c. 将新点与空洞边界各边连接形成新三角形
3. 删除与超级三角形顶点相关的三角形

参数

points

输入 2D 点集（至少 3 个不共线点）

返回

DelaunayResult 三角化结果

注解

时间复杂度：平均 O(n log n)，最坏 O(n²)

auto result = delaunay_2d({{0,0}, {1,0}, {0.5, 0.5}, {0,1}, {1,1}});
// result.triangles 为 Delaunay 三角形索引

参见

constrained_delaunay_2d

delaunay_3d()

TetrahedronMesh vde::mesh::delaunay_3d

(

const std::vector< Point3D > &

points

)

3D Delaunay 四面体化（Bowyer-Watson 增量算法）

将 3D 点集剖分为 Delaunay 四面体网格：任意四面体的外接球内不含其他顶点。 算法是 2D 版本的自然推广：

1. 构建超级四面体包含所有点
2. 逐点插入：删除外接球包含新点的四面体 → 空洞 → 重连
3. 去除超级四面体相关单元

参数

points

输入 3D 点集（至少 4 个不共面点）

返回

TetrahedronMesh 四面体网格

注解

时间复杂度与 2D 类似：平均 O(n log n)，最坏 O(n²)

输出包括内部和边界四面体；通过 alpha_shapes 可提取表面

auto tet_mesh = delaunay_3d(point_cloud);

参见

alpha_shapes

evaluate_element_quality()

ElemQuality vde::mesh::evaluate_element_quality	(	const HalfedgeMesh &	mesh,
		ElementType	type
	)

按单元类型分派的网格质量评估

参数

mesh	输入网格
type	单元类型

返回

ElemQuality 质量指标

注解

目前仅 Tri 和 Tet 完整实现；Quad / Hex 返回 stub（全零）

evaluate_mesh_quality()

MeshQuality vde::mesh::evaluate_mesh_quality

(

const HalfedgeMesh &

mesh

)

评估三角网格质量

对网格中每个三角面计算内角、长宽比，统计全局最值及平均值。 质量好的三角网格应有：

• min_angle > 20°（CFD 模拟要求 > 25°）
• max_angle < 120°（避免狭长退化）
• avg_aspect_ratio 接近 1

参数

mesh

输入三角网格

返回

MeshQuality 质量指标汇总

auto q = evaluate_mesh_quality(mesh);
if (q.min_angle_deg < 15.0) {
    // 需要 remesh 或优化
}

evaluate_tet_quality()

TetQuality vde::mesh::evaluate_tet_quality

(

const HalfedgeMesh &

mesh

)

评估三角网格作为四面体边界的质量

将每个三角面与其面重心构造虚拟四面体，评估这些四面体的质量。 适用于将封闭三角表面解释为体积边界时的质量检测。

参数

mesh	封闭三角网格（volume boundary）

返回

TetQuality 四面体质量指标

注解

这不是真正的四面体网格质量评估——仅用于表面网格的代理指标

geodesic_distance()

std::vector<double> vde::mesh::geodesic_distance	(	const HalfedgeMesh &	mesh,
		const std::vector< int > &	sources,
		double	t = -1.0
	)

热方法（Heat Method）计算测地距离

基于 Crane et al. 2013 的算法，通过求解三个线性系统高效计算 曲面上任意点到源点集的测地距离（Geodesic Distance）。

算法三步：

1. 热扩散：求解 (I - t·L)·u = u₀，其中 u₀ 在源点为 1 其余为 0
2. 梯度归一化：X = -∇u / |∇u|
3. 泊松重建：L·φ = div(X)，得到测地距离 φ

相比精确测地线算法（如 MMP），热方法更快（~线性时间）且易于实现， 但精度受时间步长 t 和网格分辨率影响。

参数

mesh	输入三角网格
sources	源顶点索引列表（距离为 0 的顶点）
t	时间步长，< 0 时自动设为平均边长平方

返回

每顶点到最近源点的测地距离

注解

要求网格为连通流形；时间步长 t 越小精度越高但数值越不稳定

auto dist = geodesic_distance(mesh, {0, 10, 20});
// dist[i] = 顶点 i 到 {0,10,20} 中最近顶点的测地距离

lscm_parameterization()

std::vector<Point2D> vde::mesh::lscm_parameterization

(

const HalfedgeMesh &

mesh

)

LSCM（Least Squares Conformal Maps）参数化

基于 Lévy et al. 2002 的最小二乘共形映射。通过最小化共形能量 使参数化尽可能保角（角度畸变小），同时允许边界自由。

与 Tutte 的区别：

• 无需固定边界 → 边界自然展开，畸变更小
• 需要固定至少 2 个顶点消除刚体自由度（内部处理）
• 共形性更好，适合纹理映射
• 不保证无翻转（局部极小可能翻转）

能量函数： E(u,v) = Σ_T || ∇(u+iv) ||² · A_T 对每个三角形 T 最小化梯度扰动平方和

参数

mesh

输入三角网格

返回

每顶点 UV 坐标（Point2D）

注解

简化实现，不包含完整 Lévy 论文中所有的退化处理

auto uv = lscm_parameterization(mesh);
// 适合纹理 mapping

参见

tutte_parameterization

marching_cubes()

MCMesh vde::mesh::marching_cubes	(	const std::function< double(double, double, double)> &	f,
		double	iso_level,
		const Point3D &	bmin,
		const Point3D &	bmax,
		int	resolution
	)

Marching Cubes 等值面提取

从标量场 f(x,y,z) 中提取等值面 S = { (x,y,z) | f(x,y,z) = iso_level }。 将包围盒划分为 resolution×resolution×resolution 体素网格， 在每个体素的 8 个角求值 f，查表确定等值面穿越该体素的三角形配置。

参数

f	标量场函数 f(x,y,z) → double
iso_level	等值面值（默认 0）
bmin	包围盒最小角
bmax	包围盒最大角
resolution	每轴采样分辨率（≥ 1），总网格 = resolution³ 个立方体

返回

MCMesh 三角形网格

注解

使用经典的 256 查表法（Lorensen & Cline 1987）

// 提取球面等值面
auto f = [](double x,double y,double z) {
    return sdf_sphere(x,y,z, 0,0,0, 1.0);
};
auto mesh = marching_cubes(f, 0.0,
    {-2,-2,-2}, {2,2,2}, 64);

参见

sdf_sphere sdf_box

mesh_boolean()

HalfedgeMesh vde::mesh::mesh_boolean	(	const HalfedgeMesh &	a,
		const HalfedgeMesh &	b,
		BooleanOp	op
	)

三角网格布尔运算

对两个封闭三角网格执行 CSG（Constructive Solid Geometry）布尔操作。 内部流程：

1. 计算两个网格的三角形-三角形交线
2. 沿交线细分三角形（conforming 三角化）
3. 根据布尔类型对每个子面片做内/外分类
4. 缝合属于结果的部分形成新网格

参数

a	第一个三角网格（必须为封闭流形）
b	第二个三角网格（必须为封闭流形）
op	布尔运算类型

返回

结果三角网格

注解

要求输入网格为封闭流形（watertight），否则分类不可靠

auto result = mesh_boolean(cube, sphere, BooleanOp::Difference);
// result = 立方体减去球体的交集部分

mesh_quality_report()

QualityReport vde::mesh::mesh_quality_report

(

const HalfedgeMesh &

mesh

)

生成三角网格的完整质量报告

包含直方图、分级统计及基本统计量。 分级标准（按归一化 Jacobian）：

• A: [0.9, 1.0] — 优秀
• B: [0.7, 0.9) — 良好
• C: [0.5, 0.7) — 合格
• D: [0.3, 0.5) — 差
• F: [0.0, 0.3) — 不合格

参数

mesh

输入三角网格

返回

QualityReport 完整质量报告

mesh_quality_report_tet()

QualityReport vde::mesh::mesh_quality_report_tet

(

const HalfedgeMesh &

mesh

)

生成四面体网格的完整质量报告

将表面网格的面解释为四面体单元的边界（面 + 面心 = 虚拟四面体）。

参数

mesh

封闭三角网格

返回

QualityReport 完整质量报告

repair_mesh()

HalfedgeMesh vde::mesh::repair_mesh	(	const HalfedgeMesh &	mesh,
		const RepairOptions &	opts = {}
	)

自动网格修复

对输入网格执行一系列修复操作，输出水密的流形网格：

• fill_holes: 检测边界环并用 fan 三角化填充
• remove_duplicates: 空间哈希合并间距 < 1e-8 的重复顶点
• fix_orientation: 从最大连通分量开始遍历传播一致的半边朝向
• remove_degenerate: 剔除面积 < ε 的退化三角形

参数

mesh	输入网格（可能有缺陷）
opts	修复选项（默认全部启用）

返回

修复后的网格

注解

修复为启发式算法，不保证 100% 成功；孔洞过大或非流形边可能仍有残留问题

auto fixed = repair_mesh(broken_mesh);  // 默认全修复
 
RepairOptions opts;
opts.fill_holes = false;   // 仅做去重 + 定向
auto cleaned = repair_mesh(mesh, opts);

sdf_box()

double vde::mesh::sdf_box ( double  x, double  y, double  z, double  hx, double  hy, double  hz  )

inline

SDF 立方体函数（轴对齐，中心在原点）

参数

x,y,z	采样点坐标
hx,hy,hz	半边长

返回

有符号距离

在文件 marching_cubes.h 第 82 行定义.

sdf_smooth_subtraction()

double vde::mesh::sdf_smooth_subtraction ( double  d1, double  d2, double  k  )

inline

SDF 平滑差集（Smooth Subtraction）

d1 减去 d2，过渡区由 k 控制。

参数

d1,d2	两个 SDF 值
k	平滑宽度（> 0）

返回

混合后的 SDF 值

在文件 marching_cubes.h 第 118 行定义.

sdf_sphere()

double vde::mesh::sdf_sphere ( double  x, double  y, double  z, double  cx, double  cy, double  cz, double  r  )

inline

SDF 球体函数

参数

x,y,z	采样点坐标
cx,cy,cz	球心坐标
r	半径

返回

有符号距离：内部 < 0，表面 = 0，外部 > 0

auto sphere_sdf = [](double x,double y,double z) {
    return sdf_sphere(x,y,z, 0,0,0, 1.0);
};

在文件 marching_cubes.h 第 69 行定义.

simplify_mesh()

HalfedgeMesh vde::mesh::simplify_mesh	(	const HalfedgeMesh &	mesh,
		const SimplifyOptions &	opts = {}
	)

QEM（Quadric Error Metrics）网格简化

基于 Garland & Heckbert 1997 的 QEM 算法，通过迭代边塌缩减少三角面数量。 每条边维护一个 4×4 误差二次型 Q = Σ Q_f（面片的顶点-平面距离平方和）， 塌缩目标点为 argmin v^T Q v，塌缩代价为该最小值。

算法流程：

1. 为每个顶点计算初始 Q（关联所有邻面的平面二次型之和）
2. 为每条边计算最优塌缩点及代价，插入最小堆
3. 循环弹出最小代价边，执行塌缩，更新受影响边的代价
4. 直到面数达到 target_ratio 或堆为空

参数

mesh	输入三角网格
opts	简化选项

返回

简化后的网格

注解

preserve_boundary 模式下，边界边通过惩罚项（大代价）被保护

SimplifyOptions opts;
opts.target_ratio = 0.1;  // 保留 10% 面
auto lod = simplify_mesh(high_res_mesh, opts);

smooth_bilateral()

HalfedgeMesh vde::mesh::smooth_bilateral	(	const HalfedgeMesh &	mesh,
		const SmoothOptions &	opts = {}
	)

双边网格滤波

基于法向加权的各向异性去噪，保持尖锐边缘和特征：

• 空间权重：w_c = exp(-d²/(2·σ_c²))，基于顶点间距
• 法向权重：w_n = exp(-θ²/(2·σ_n²))，基于法向夹角
• 更新：v ← v + Σ_j w_c(j)·w_n(j)·(v_j - v) / Σ_j w_c(j)·w_n(j)

相比于各向同性的拉普拉斯类方法，双边滤波在 CAD/机械零件网格上效果最优。

参数

mesh	输入网格
opts	光顺选项（使用 bilateral_ 前缀字段）

返回

光顺后的网格

smooth_hc_laplacian()

HalfedgeMesh vde::mesh::smooth_hc_laplacian	(	const HalfedgeMesh &	mesh,
		const SmoothOptions &	opts = {}
	)

HC 拉普拉斯光顺（Humphrey's Classes）

两遍处理以保持原始形状特征：

1. 前推：标准拉普拉斯光顺，记录位移 b_i = v_i' - v_i
2. 回推：v_i'' = v_i' - (α·b_i + β·avg(neighbor_b))

相比标准拉普拉斯显著减轻体积收缩，同时比 Taubin 更好地保持尖锐特征。

参数

mesh	输入网格
opts	光顺选项（使用 hc_alpha 和 hc_beta 字段）

返回

光顺后的网格

smooth_laplacian()

HalfedgeMesh vde::mesh::smooth_laplacian	(	const HalfedgeMesh &	mesh,
		int	iterations,
		double	lambda
	)

标准拉普拉斯光顺

均匀拉普拉斯：v ← v + λ·(avg(neighbor_positions) - v) 最简单但会引入体积收缩，适用于轻度平滑。

参数

mesh	输入网格
iterations	迭代次数
lambda	步长系数 (0, 1]

返回

光顺后的网格

注解

迭代过多会导致网格坍塌；对于体积关键的应用优先选 Taubin 或 HC

参见

smooth_taubin smooth_hc_laplacian

smooth_mesh()

HalfedgeMesh vde::mesh::smooth_mesh	(	const HalfedgeMesh &	mesh,
		const SmoothOptions &	opts = {}
	)

网格光顺（通用分发器）

根据 opts.method 分派到具体的光顺实现：

• Laplacian → smooth_laplacian()
• Taubin → smooth_taubin()
• HCLaplacian → smooth_hc_laplacian()
• Bilateral → smooth_bilateral()

参数

mesh	输入三角网格
opts	光顺选项

返回

光顺后的网格（顶点位置更新，拓扑不变）

SmoothOptions opts;
opts.method = SmoothMethod::Taubin;
opts.iterations = 20;
auto smooth = smooth_mesh(noisy_mesh, opts);

smooth_taubin()

HalfedgeMesh vde::mesh::smooth_taubin	(	const HalfedgeMesh &	mesh,
		int	iterations,
		double	lambda,
		double	mu
	)

Taubin λ|μ 光顺（体积保持）

两阶段交替：

1. 正步（收缩滤波）：v ← v + λ·L(v)
2. 负步（膨胀滤波）：v ← v + μ·L(v)，其中 μ < 0 且 |μ| > |λ|

传递函数在低频通带增益 ≈ 1，有效去噪同时保持体积。

参数

mesh	输入网格
iterations	完整 λ/μ 循环次数
lambda	正步系数 (0, 1]
mu	负步系数，需满足 mu < 0 且 |mu| > lambda

返回

光顺后的网格

注解

典型值：λ = 0.5, μ = -0.53；|mu| 过大可能导致不稳定振荡

tet_scaled_jacobian()

double vde::mesh::tet_scaled_jacobian	(	const Point3D &	a,
		const Point3D &	b,
		const Point3D &	c,
		const Point3D &	d
	)

四面体归一化 Jacobian

计算四面体 (a,b,c,d) 的体积 Jacobian，归一化到 [0, 1]。 值 1 = 正四面体（最优），0 = 退化（共面）。

公式：J = det([b-a, c-a, d-a]) / (归一化因子)

参数

a,b,c,d

四面体四个顶点

返回

归一化 Jacobian [0, 1]

tri_scaled_jacobian()

double vde::mesh::tri_scaled_jacobian	(	const Point3D &	a,
		const Point3D &	b,
		const Point3D &	c
	)

三角形归一化 Jacobian

计算三角形 (a,b,c) 的带符号面积，归一化到 [-1, 1]。 值 1 = 等边三角形（最优），0 = 退化（共线），-1 = 翻转（法向反了）。

公式：J = det([b-a, c-a, n]) / (|b-a|·|c-a|·|b-c|? or area-based?) 实际实现使用面积与理想等边三角形面积之比。

参数

a,b,c

三角形三个顶点

返回

归一化 Jacobian [-1, 1]

tutte_parameterization()

std::vector<Point2D> vde::mesh::tutte_parameterization

(

const HalfedgeMesh &

mesh

)

Tutte 参数化（调和参数化）

将边界顶点固定映射到单位圆上，内部顶点通过求解 Laplace 方程 Δu = 0, Δv = 0 得到 UV 坐标。这是最经典、最稳定的网格参数化方法。

算法：

1. 检测网格边界环
2. 将边界顶点按弧长比例映射到单位圆上
3. 对每个内部顶点求解均匀 Laplace（权重 w_ij = 1）： v_i = Σ_j v_j / deg(i)
4. 构造稀疏线性系统 LU 求解

优点：极稳定，保证无翻转（对凸边界网格） 缺点：边界固定，内部可能扭曲（非共形）

参数

mesh	输入三角网格（需含边界）

返回

每顶点 UV 坐标（Point2D），顺序与 mesh 顶点一致

注解

网格必须有边界（开网格）；闭曲面需先切割为拓扑圆盘

auto uv = tutte_parameterization(mesh);
// uv[i] 为顶点 i 的 (u,v) 坐标，范围大致在 [-1,1]²

参见

lscm_parameterization