# 核心算法设计

## 目录

1. [Delaunay 三角剖分（2D）](#1-delaunay-三角剖分2d)
2. [NURBS 曲线求值](#2-nurbs-曲线求值)
3. [GJK 碰撞检测](#3-gjk-碰撞检测)
4. [网格简化（QEM）](#4-网格简化qem)
5. [BVH 构建（SAH）](#5-bvh-构建sah)
6. [2D 多边形布尔运算](#6-2d-多边形布尔运算)

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## 1. Delaunay 三角剖分（2D）

**算法**：Bowyer-Watson 增量算法
**复杂度**：O(n log n) 期望，O(n²) 最坏

```
算法步骤：
1. 构造一个覆盖所有输入点的超级三角形
2. 逐点插入：
   a. 找到外接圆包含新点的所有"坏"三角形
   b. 提取坏三角形的边界边（只保留不重复的边）
   c. 删除坏三角形
   d. 用新点与每条边界边连接，形成新三角形
3. 删除包含超级三角形顶点的三角形
```

**关键实现细节**：
- 三角形预存外接圆圆心和半径，加速包含判断
- 用哈希集合高效提取边界边（出现两次的边=内部边，删除；出现一次的边=边界边，保留）

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## 2. NURBS 曲线求值

**算法**：Cox-de Boor 递推公式

```
求值步骤：
1. find_span(t)：二分查找 t 所在的节点区间
2. basis_functions(t, span)：递推计算基函数 N_{i,p}
3. 加权组合：P(t) = Σ N_i·w_i·cp_i / Σ N_i·w_i
```

**基函数递推**：

```
N_{i,0}(t) = 1  若 knots[i] ≤ t < knots[i+1]，否则 0

N_{i,p}(t) = (t - knots[i]) / (knots[i+p] - knots[i]) · N_{i,p-1}(t)
           + (knots[i+p+1] - t) / (knots[i+p+1] - knots[i+1]) · N_{i+1,p-1}(t)
```

**复杂度**：O(p²)，p 为阶数

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## 3. GJK 碰撞检测

**算法**：Gilbert-Johnson-Keerthi
**用途**：检测两个凸体是否相交

```
核心思想：
1. 定义 Minkowski 差：C = A ⊖ B = {a - b | a∈A, b∈B}
2. A 与 B 相交 ⇔ C 包含原点
3. 迭代构建包含原点的单纯形（点→线→三角形→四面体）
4. 每步使用 support 函数在 Minkowski 差上采样
5. 3D 中最多约 40 次迭代即可得到结果
```

**Minkowski 差的 support 函数**：
```
support(d) = support_A(d) - support_B(-d)
```

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## 4. 网格简化（QEM）

**算法**：Quadric Error Metrics（Garland & Heckbert, SIGGRAPH 1997）

```
算法步骤：
1. 计算每个顶点的二次误差矩阵 Q(v)
2. 计算每条边的收缩代价：cost(e) = v_opt^T · (Q_v1 + Q_v2) · v_opt
3. 将所有边按代价放入最小堆
4. 贪心循环：
   a. 弹出代价最小的边
   b. 收缩该边到最优位置（或中点）
   c. 更新所有受影响边的代价
5. 重复直到达到目标面数
```

**Q 矩阵定义**：对每个顶点 v，其 Q 矩阵为相邻面平面方程的外积和：
```
Q(v) = Σ K_p^T · K_p，其中 K_p = [a b c d]，ax+by+cz+d=0
```

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## 5. BVH 构建（SAH）

**算法**：表面积启发式（Surface Area Heuristic）

```
SAH 代价函数：
C = C_trav + (n_L·area_L + n_R·area_R) / area_total · C_isect

构建过程：
1. 对当前节点计算包围盒
2. 若图元数 ≤ leaf_size 或深度 ≥ max_depth → 创建叶节点
3. 否则：
   a. 沿最长轴排序图元（按质心坐标）
   b. 尝试多个分割位置，计算 SAH 代价
   c. 选择代价最低的分割
   d. 如果分割代价 ≥ 不分割的代价 → 创建叶节点
   e. 否则递归构建左右子树
```

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## 6. 2D 多边形布尔运算

**算法**：Sutherland-Hodgman 裁剪（当前实现）
**目标算法**：Vatti 扫描线算法（对标 Clipper2）

```
当前实现（S-H）：
1. 以裁剪多边形为窗口
2. 对主题多边形的每条边逐一裁剪
3. 时间复杂度 O(n·m)

规划实现（Vatti）：
1. 扫描线遍历所有边交点
2. 边分割与标记（内部/外部）
3. 提取结果轮廓
4. 支持任意多边形（含自交、带孔）
```